Sistemas Lineales

Glosario:


Sistema lineal: es un conjunto de ecuaciones lineales -de primer grado-, que se refieren a una misma situación o problema.

Sistema compatible: sistema que tiene solución.

Sistema compatible definido, es el sistema compatible que tiene una única solución.

Sistema compatible indefinido es el sistema compatible que tiene infinitas soluciones.

Sistema incompatible: sistema que carece de solución.

Solución de un sistema lineal: valor de cada una de las incógnitas que hacen ciertas las ecuaciones del sistema.


Propiedad fundamental de las ecuaciones: podemos multiplicar o dividir por un número cualquiera ambos miembros de una ecuación, sin que la nueva ecuación deje de ser cierta.

Propiedad fundamental de los sistemas de ecuaciones: podemos sumar o restar miembro a miembro las ecuaciones de un mismo sistema, obteniendo otra igualdad cierta para las misma incógnitas.


Método de igualación: uno de los métodos elementales de resolución de sistemas lineales, que consiste en despejar la misma incógnita de ambas ecuaciones para igualar entre sí las expresiones resultantes, obteniendo una ecuación final con una única incógnita que se resuelve. La segunda incógnita se calcula posteriormente sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones originales, el valor de la incógnita ya conocida.

Método de sustitución: uno de los métodos de resolución de sistemas, que consiste en despejar una de las incógnitas de una de las dos ecuaciones y sustituir la expresión resultante en esa misma incógnita pero de la segunda ecuación. Se obtiene una sola ecuación con una única incógnita, que se resuelve. La segunda incógnita se calcula posteriormente sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones originales, el valor de la incógnita ya conocida.

Método de reducción: consiste en conseguir -mediante aplicación de propiedades de los sistemas- que una de las dos incógnitas aparezca con coeficientes opuestos, para que al sumar miembro a miembro las ecuaciones ordenadas, desaparezca, obteniendo una ecuación con una única incógnita. La segunda incógnita se calcula posteriormente sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones originales, el valor de la incógnita ya conocida.


Ejemplo de resolución de un problema con dos incógnitas. «Caso del número de botellas de agua compradas para un campamento».

CASO REAL: «En el grupo scout del colegio, han comprado agua para llevar a un campamento que van a hacer en una zona donde este año hay sequía. En total, 1050 botellas, unas de 1,5 litros, y otras de 300 ml., con un coste total de 356€.

Sin querer, en la cocina del colegio, se han juntado a otros pedidos de botellas y la administradora del colegio, quiere saber cuántas de cada tamaño habían comprado los scouts para su campamento.  Ellos no lo saben. Pero recuerdan que las de 1,5 litros las compraron a 0,50€ y las de 300 mL, a 0,24 €.
¿Pueden llegar a saber exactamente cuantas compraron de cada tamaño?».


Para plantear y resolver problemas con dos incógnitas.

1º. IDENTIFICAMOS. Identificamos qué es lo que queremos calcular, redactándolo.
ASIGNAMOS. Aplicamos el método que aporta el álgebra: ¡asignamos letras a nuestras incógnitas!
ESCRIBIMOS. Escribimos un par de igualdades con la información -los datos- que tenemos del problema.
RESOLVEMOS. Resolvemos el sistema, mediante alguno de los métodos estudiados.
COMPROBAMOS. Finalmente, comprobamos los resultados de los cálculos.


1º. Identificamos qué es lo que queremos calcular, y lo redactamos. En este caso,

Incógnita 1: número de botellas de 1,5 litros que hemos comprado.
Incógnita 2: número de botellas de 300mL que hemos comprado.

2º Aplicamos el método que aporta el álgebra: ¡asignamos letras a nuestras incógnitas!:

x = nº de botellas de 1,5 litros.
y = nº de botellas de 0,3 litros.

Escribimos un par de igualdades con la información -los datos- que tenemos del problema.

El total de botellas compradas, x+y, fueron 1050.
Ecuación: x+y=1050
El coste total fue de 356€.  x botellas a 0,50€, además de y botellas a 0,24€.
Ecuación: 0,50·x + 0,24·y = 356€.

El sistema de ecuaciones a resolver quedará así:

$$\begin{cases}
x+y=1050\\
0,5x+0,24y=356\\
\end{cases}$$

Resolvemos el sistema, mediante alguno de los 3 métodos estudiados. Veamos aquí, el método de resolución por reducción.

Indicamos que multiplicamos por (-0,5) a la primera ecuación, de esta forma:

$$\begin{array}{r}
\text (-0,5)\\
\text{ }
\end{array}\begin{cases}
x+y=1050\\
0,5x+0,24y=356
\end{cases}$$

Efectuamos el producto,

\begin{cases}
-0,5x-0,5y=-525\\
0,5x+0,24y=356
\end{cases}

Sumamos término a término una y otra ecuación por términos semejantes -verticalmente-, y queda así:

$$
\left\{
\begin{aligned}
-0,5x-0,5y&=-525\\
0,5x+0,24y&=356\\
\hline
\text{ #}-0,26y&=-169
\end{aligned}
\right.
$$

$$y=\cfrac{-169}{-0,26}=650$$

de donde podemos obtener el valor de «x», sin más que substituir y=650 en una de las ecuaciones del sistema, en cualquiera de ellas:

$$
\bbox[yellow]x+y=1050\\
x=1050-y\\
x=1050-650=400$$

\begin{cases}
x=650\\
y=450
\end{cases}

5º Finalmente, comprobamos los resultados de los cálculos. Veremos si satisfacen las ecuaciones -esto es, si las cumplen o no-, y si tienen sentido esos resultados en el contexto del problema planteado. (Sería absurdo admitir un resultado negativo para una longitud, pero no lo sería si hablásemos de una temperatura, etc.)

Efectivamente x(=400) + y(=650) son 1050 botellas. Y por otra parte, 400 botellas a 0,50€ a 0,50€ son 200€ + 650 botellas a 0,24€ son 156€, en total, 356€.

Respuesta: Fueron compradas 400 botellas de 1,5 litros, y 650 botellines de 300 ml.


Recuerda, para solucionar problemas con dos incógnitas.

1º. IDENTIFICAMOS. Identificamos qué es lo que queremos calcular, redactándolo.
ASIGNAMOS. Aplicamos el método que aporta el álgebra: ¡asignamos letras a nuestras incógnitas!
ESCRIBIMOS. Escribimos un par de igualdades con la información -los datos- que tenemos del problema.
RESOLVEMOS. Resolvemos el sistema, mediante alguno de los métodos estudiados.
COMPROBAMOS. Finalmente, comprobamos los resultados de los cálculos.


Ampliación de conceptos.


Qué es un sistema lineal de dos incógnitas.

En general, un sistema es un conjunto de ecuaciones, que se refieren al mismo problema y que contienen las mismas incógnitas.

Cuando las ecuaciones que forman un sistema son de primer grado para todas las incógnitas, diremos del sistema que es un sistema lineal, o de primer grado. 

Para que un sistema de ecuaciones pueda tener una solución concreta (un valor para cada una de las incógnitas) debe tener tantas ecuaciones distintas como incógnitas tenga el problema.


Métodos de resolución de sistemas de ecuaciones (3).


A) Método de sustitución.

El método de substitución consiste en despejar una de las incógnitas de una de las dos ecuaciones y sustituir la expresión resultante, en la misma incógnita de la otra ecuación.

Ejemplo:

\begin{cases}
x+y=130\\
x-y=70
\end{cases}

Paso 1º. Despejamos una incógnita; por ejemplo la «y», de la 1ª ecuación:

\begin{cases}
x+\bbox[yellow]y=130\\
x-y=70
\end{cases}

y=130xy=130-x

Paso 2º. Substituímos su valor en la «y» de la otra ecuación,

$$
\left\{
\begin{aligned}
x+y&=130\\
x-(130-x)&=70\\
\end{aligned}
\right.
$$

Paso 3º. Como esta segunda ecuación, después de la sustitución, es una ecuación con una única incógnita, la resolvemos:

$$x-(130-x)=70\\
x-130+x=70\\
2x=200\\
x=100
$$

Paso 4º. La segunda incógnita se calcula sustituyendo este resultado, x=100, en cualquiera de las dos ecuaciones iniciales, y despejando el valor de «x».

$$\bbox[yellow]x+y=130\\
100+y=130\\
y=130-100\\
y=30
$$

B) Método de igualación.

El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones para, a continuación,  igualando las expresiones resultantes entre sí, obtener una única ecuación con una única incógnita, que podemos resolver fácilmente.

Ejemplo:

\begin{cases}
x+y=130\\
x-y=70
\end{cases}

Paso 1º. Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones,

\begin{cases}
\bbox[yellow]x+y=130\\
\bbox[yellow]x-y=70
\end{cases}

\begin{cases}
\bbox[yellow]x=130-y\\
\bbox[yellow]x=y+70
\end{cases}

Paso 2º. Se igualan ambos resultados,

$$130-y=70+y\\
$$

Paso 3º. Se resuelve la ecuación,

pasamos las «y» a un miembro y los términos independientes (los números) al otro,

$$130-70=y+y\\
60=2y\\
2y=60\\
y=30$$

Paso 4º. La segunda incógnita se calcula posteriormente utilizando este valor de «y«, en cualquiera de las dos ecuaciones del sistema.

\begin{cases}
x=130-\bbox[yellow]y\\
x=70+\bbox[yellow]y
\end{cases}

\begin{cases}
x=130-30=100\\
x=70+30=100
\end{cases}

C) Método de reducción.

El método se basa en la propiedad de los sistemas, que dice que «podemos sumar o restar miembro a miembro las ecuaciones de un sistema y con ello obtener una nueva ecuación también cierta».

Por ejemplo, si tuviéramos la «suerte» de tener que resolver el sistema,

\begin{cases}
x+y=130\\
x-y=70
\end{cases}

bastaría con aplicar esta propiedad, para, al sumar las ecuaciones término a término en vertical, obtener la ecuación,

$$
\left\{
\begin{aligned}
x+y&=130\\
x-y&=70\\
\hline
2x \text{#}&=200
\end{aligned}
\right.
$$

$$2x=200\\
$$

de la que despejada x, daría,

$$x=100\\$$

Clave del método. En un sistema con diferentes coeficientes para las dos incógnitas, antes de sumar ambas ecuaciones entre sí, debemos conseguir que los coeficientes de una de las dos incógnitas de una y otra ecuación, sean opuestos, para que al proceder a sumar miembro a miembro las ecuaciones, estos términos opuestos se anulen.
Para ello, disponemos de la propiedad fundamental de toda igualdad que dice que «podemos multiplicar o dividir a los dos miembros de una misma igualdad, por cualquier número, sin que dicha igualdad deje de ser cierta«.

Ejemplo de resolución por reducción.

\begin{cases}
2x+3y=25\\
5x-2y=34
\end{cases}

multiplicamos a la 1ª ecuación por el coeficiente que tiene x en la 2ª, y al mismo tiempo, multiplicamos a la 2ª ecuación por el coeficiente que tiene la x en la 1ª ecuación, cambiándole el signo. La intención es, que después, en ambas ecuaciones, la x quede con coeficientes iguales y de signo contrario, -opuestos-, para que al sumar las ecuaciones, los términos en x se anulen, liberándonos de esa incógnita.

$$\begin{array}{r}
\text (5)\\
\text (-2)
\end{array}\begin{cases}
2x+3y=25\\
5x-2y=34
\end{cases}$$

que pasaría a ser,

$$
\left\{
\begin{aligned}
10x+15y&=125\\
-10x+4y&=-68\\
\end{aligned}
\right.
$$

de donde sumando término a término, verticalmente, quedaría,

$$
\left\{
\begin{aligned}
10x+15y&=125\\
-10x+4y&=-68\\
\hline
\text{#}+19y&=57
\end{aligned}
\right.
$$

$$y=\cfrac{57}{19}=3$$

Finalmente, substituiríamos este valor y=3 en cualquiera de las ecuaciones del sistema, para obtener la x.

\begin{cases}
2x+3\bbox[yellow]y=25\\
5x-2\bbox[yellow]y=34
\end{cases}

\begin{cases}
2x+3·3=25\\
5x-2·3=34
\end{cases}

obteniendo de cualquiera de ellas,

\begin{cases}
x=(25-9)/2=8\\
x=(34+6)/5=8
\end{cases}