EJERCICIOS

Las propiedades fundamentales de las igualdades.

Ejercicio nº1

Imaginad que estamos estudiando la densidad de una substancia en Física,

$$d=\cfrac{m}{V}$$

y en un momento dado -puede ser una pregunta de un examen, un ejercicio, un compañero que no sabe hacerlo-, el caso es que alguien nos pide que calculemos el volumen (V) que ocupa una substancia, de la que conocemos tanto la masa como la densidad. En otras palabras, necesitamos saber despejar V.

Necesidad: queremos despejar V de la anterior fórmula.

Procedimiento:

1 Multiplicamos ambos miembros de la igualdad por «V» (propiedad del producto).

$$d=\cfrac{m}{V}$$ $$V·d=\cfrac{m}{V}·V$$

Simplificamos «V» en el segundo miembro.

$$\require\cancel V·d=\cfrac{m}{\cancel{V}}·\cancel{V}$$

$$V·d=m$$
Dividimos ambos miembros por «d» (propiedad de la división).

$$\cfrac{V·d}{d}=\cfrac{m}{d}$$

4 Simplificamos «d» en el primer miembro.

$$\cfrac{V·\cancel{d}}{\cancel{d}}=\cfrac{m}{d}$$

$$ \bbox[yellow]
{
V=\cfrac{m}{d}
}
$$


Ejercicio nº2

Imaginad que alguien conocido os pide ayuda porque de matemáticas «anda mal» y quiere saber en cuántas partes iguales ha de dividir 110 g de azúcar para obtener porciones de 5 g.

Nosotros hemos sido capaces de describir la situación en lenguaje algebraico, en la que x es el número de partes que buscamos.

$$\cfrac{110}{x}=5$$

Necesidad: queremos despejar x y calcular su valor.

Procedimiento:

1 Multiplicamos ambos miembros de la igualdad por «x» (propiedad del producto).

$$\cfrac{110}{x}·x=5·x$$

Simplificamos «x» en el primer miembro.

$$\require\cancel \cfrac{110}{\cancel{x}}·\cancel{x}=5·x$$

$$110=5·x$$
Dividimos ambos miembros por «5» (propiedad de la división).

$$\cfrac{110}{5}=\cfrac{5·x}{5}$$

4 Simplificamos «5» en el segundo miembro.

$$\cfrac{110}{5}=\cfrac{\cancel{5}·x}{\cancel{5}}$$

$$ \bbox[yellow]
{22=x}
$$


Ejercicio nº3

Imaginad que un compañero de 4º de la E.S.O., os ha pedido ayuda, ahora que estáis aprendiendo a resolver ecuaciones, y  os presenta esta ecuación con fracciones, «muy difícil» para él, para ver si le podéis echar una mano.

$$\cfrac{x-1}{2}-\cfrac{x-2}{3}=120$$

Necesidad: queremos despejar x y calcular su valor.

Procedimiento:

1 Multiplicamos ambos miembros de la igualdad por «2» y por «3», para simplificar con los denominadores (propiedad del producto).

$$\cfrac{x-1}{2}-\cfrac{x-2}{3}=120$$

$$2·3·\left(\cfrac{x-1}{2}-\cfrac{x-2}{3}\right)=120·2·3$$

$$6·\left(\cfrac{x-1}{2}-\cfrac{x-2}{3}\right)=720$$

2 Aplicamos la propiedad distributiva de la multiplicación respecto a la suma.

$$6·\cfrac{x-1}{2}-6·\cfrac{x-2}{3}=720$$

Simplificamos en el primer miembro.

$$\cancel{6}·3·\cfrac{(x-1)}{\cancel{2}}-\cancel{6}·2·\cfrac{(x-2)}{\cancel{3}}=720$$

Dividimos ambos miembros por   (propiedad de la división).

$$3·(x-1)-2·(x-2)=720$$

4 DAplicamos la propiedad distributiva en el primer miembro.

$$3x-3-2x+4=720$$

Reducimos términos.

$$x+1=720$$

Restamos 1 en los dos miembros.

$$x+1-1=720-1$$

$$ \bbox[yellow]
{x=719}$$