Ecuaciones de primer grado


1 Glosario:

Absurdo: Igualdad evidentemente falsa.
Ejemplo: la igualdad 3=4 es un absurdo).

Ecuación: Igualdad algebraica. Es decir, igualdad que contiene números, y letras que representan a números.
Ejemplo: 2x+3=8, es una ecuación.

Ecuación lineal: ecuación de primer grado, es decir, ecuación en la que la o las incógnitas aparecen elevadas a la potencia 1.
Ejemplo: 2(x-3)+2x=x-1, es una ecuación de grado uno, o de primer grado, o «lineal».

Grado de una incógnita: es el exponente al que está elevada.
Ejemplo: en la expresión 2x2, la x es de 2º grado, en x3, la x es de 3º grado, en 2x, el grado es uno, aunque no se escribe.

Grado de un término: en el supuesto de que un término tenga varias letras o indeterminadas, el grado del término será la suma de los exponentes a los que aparecen elevadas las mismas.
Ejemplo: En x2y, el grado es 3 (la «x» está elevada a exponente 2, y la «y» está elevada a grado 1), en el término x2y3, el grado del término es 5, y en el término xyz2 el grado es 4.

Si el término sólo contiene una indeterminada, entonces el grado del término es el de su indeterminada.
Ejemplo: En 3x2, el grado del término es 2, porque el grado de su única indeterminada es 2.

Grado de una ecuación con una incógnita: es el grado del término de mayor grado respecto a esa incógnita.

Igualdad: Cualquier expresión matemática que contenga el signo «=».

Identidad: Es una igualdad evidentemente cierta.
Ejemplo: 2=2; otra, 5=3+2+1; o también, a=a, ó x=x.

Miembro de una ecuación: cada una de las dos expresiones que quedan a un lado y otro del signo igual «=» de una ecuación. El de la izquierda recibe el nombre de «primer miembro» y el de la derecha, «segundo miembro».

Reducir: es sumar o restar los términos semejantes entre sí.
Ejemplo: Ejemplo: 2x+3x-5x-6x+20x puede ser reducido a 14x efectuando la suma de todos los términos ya que son semejantes. En cambio 2x+3y no da lugar a una suma ya que los términos, no son semejantes. (Uno contiene la x y otro contiene la y)

Término: es cualquiera de los sumandos en cualquier expresión algebraica.
Ejemplo: En 3x2+5x+1, hay 3 términos: 3x2, 5x y 1.

Términos semejantes: son los términos que contienen la misma letra o grupo de letras en una expresión algebraica.
Ejemplo: 3x, 5x, -7x son términos semejantes por poseer la misma indeterminada y grado de la misma. 13x2, -5x2 y 26x2 son términos semejantes entre ellos, por la misma razón.

Solución: la solución de una ecuación, es el valor numérico de x, que hace cierta la igualdad.
Ejemplo: la solución de la ecuación «2x+100=200», es el valor x=50, porque ese valor, sustituído en lugar de la x, hace cierta la igualdad escrita: efectivamente, «2·50 + 1″2000 – 230 = 2000


2 Relación entre igualdades, identidades, absurdos y ecuaciones.

Presentación 1.003-001

Igualdad es cualquier expresión matemática que contenga el signo «=».
Ejemplos: 20=12+3+5. O también, x=x, o también, 2x+a=102

Identidad es cualquier igualdad evidentemente cierta.
Ejemplo: 4=4;  4=1+3.

Absurdo es cualquier igualdad que sea evidentemente falsa.
Ejemplo: 2=3. Corregiríamos la expresión, para hacer una afirmación cierta: 2≠3

Ecuación, es una igualdad que contiene alguna incógnita.
Ejemplo: 2x+3=100; a+b+c=1000


3 Las propiedades fundamentales de las igualdades.


1ª propiedad. Podemos sumar o restar la misma cantidad a ambos miembros de una misma igualdad, sin que esta se altere.

2ª propiedad. Podemos multiplicar o dividir por la misma cantidad a los dos miembros de una misma igualdad, sin que esta deje de ser cierta.

Estas propiedades lo son, no sólo de las ecuaciones, sino de todas las igualdades, a excepción claro está, de los absurdos.


Propiedad 1. Podemos sumar un mismo número a los dos miembros de una igualdad, sin que la igualdad deje de ser cierta.

Ejemplo: Dada una igualdad, por ejemplo,

300€ + 400€ = 700€

la igualdad entre ambos miembros seguirá siendo cierta, aunque sumemos a los dos miembros al mismo tiempo otra cantidad cualquiera, por ejemplo, 30€.

300€ + 400€ + 30 = 700€ + 30

730€ = 730€

Se puede añadir cualquier número, a ambos miembros y esto tiene su utilidad.


Propiedad 2. Podemos restar un mismo número a los dos miembros de una igualdad, sin que la igualdad deje de ser cierta en ningún momento.

Ejemplo: Dada una igualdad cualquiera, por ejemplo,

300 + 400 = 700

la igualdad entre los dos miembros seguirá siendo cierta, aunque restemos a los dos miembros otra cantidad cualquiera, por ejemplo, 5.

300 + 400 – 50 = 700 – 50

650 = 650


Propiedad 3. Podemos multiplicar por un mismo número a los dos miembros de una igualdad, sin que la igualdad deje de ser cierta en ningún momento.

Ejemplo: Dada una igualdad cualquiera, por ejemplo,

3 + 4 = 7

la igualdad entre ambos miembros seguirá siendo cierta, aunque multipliquemos a los dos miembros, por otra cantidad, por ejemplo, por 5.

5 · (3 + 4) = 7 · 5

5 · 3 + 5 · 4 = 7 · 5

15 + 20  = 35


Propiedad 4. Podemos dividir por un mismo número a los dos miembros de una igualdad, sin que la igualdad deje de ser cierta en ningún momento.

Ejemplo: Dada una igualdad cualquiera, por ejemplo,

30 + 40 = 70

la igualdad seguirá siendo cierta, aunque dividamos a los dos miembros entre otra cantidad cualquiera, por ejemplo, 5.

(30 + 40) : 5 = 70 : 5

30 : 5 + 40 : 5 = 70 : 5

6 + 8 = 14


4 Reglas de transposición, derivadas de las propiedades anteriores.


Regla 1. Término que aparece en un miembro restando, pasa al otro, sumando.

Regla 2. Término que aparece en un miembro sumando, pasa al otro restando.

Regla 3. Factor que aparece en un miembro dividiendo a todo el miembro, pasa al otro, multiplicando a todo el miembro.

Regla 4. Factor que aparece en un miembro multiplicando a todo el miembro, pasa al otro, dividiendo a todo el miembro.


5 Qué se puede hacer con las propiedades fundamentales de las igualdades.

De todo. Muchas cosas. Muchísimas. Más de las que en principio podamos ver aquí.

Por ejemplo, podemos resolver ecuaciones algebraicas, tan elementales como estas 4 que siguen, más tarde las haremos más complicadas.

 


5 comentarios en “Ecuaciones de primer grado

  1. paloma m

    Hola fede!
    Muchisimas gracias, hoy me he aclarado mas con las ecuaciones lineales y ya me salen!!!
    y gracias por que de no haber tenido el glosario aqui en el blog, no habria estudiado nada mas que las 5 primeras definiciones porque, por ejemplo la de solucion no la tenia.
    Un beso!

  2. Lorea

    Hola fede!!! Esto me ha ayudado mucho a la hora de estudiar , las definiciones lo explican todo con mucha claridad
    Graciias !

  3. Adriana Zancaas

    Gracias por colgar esto ahora me esta ayudando mucho, también las de segunda grado . Así que ¡gracias!

  4. Enara Ugarte Nagore

    Muchas gracias Fede, me esta ayudando mucho al estudiar, las definiciones son muy claras.

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