Ecuaciones de segundo grado


1 Glosario:

Cuadrática: es lo mismo que ecuación de segundo grado.

Discriminante: Es el radicando en la fórmula de resolución de las ecuaciones de segundo grado completas. Se representa al discriminante con la letra griega delta, ∆.

$$∆=(b^2-4ac)$$
$$x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}$$

Ecuación de segundo grado:: Cualquier ecuación en la que el máximo exponente de la incógnita es igual a 2.
Otra definición: Toda ecuación de la forma ax2+bx+c=0, donde a≠0.

Ecuación de segundo grado, completa:: Toda ecuación de segundo grado en la que están presentes los términos de segundo grado, de primer grado y el término independiente (o de grado cero).
Otra definición: Toda ecuación de la forma ax2+bx+c=0, en la que a≠0, b≠0, y c≠0.

Ecuación de segundo grado incompleta:: toda ecuación de la forma ax2+bx+c=0, en la que a≠0, y donde ó b=0 ó c=0, ó (b=0 y c=0).
Ejemplo: 2x2+5=0, es una ecuación de segundo grado incompleta, porque carece del término de grado 1
Ejemplo: x2+3x=0, es una ecuación de segundo grado incompleta, porque carece del término de grado 0
Ejemplo: finalmente, x2=0, es una ecuación de segundo grado incompleta, porque carece de los términos de grado 0 y de grado 1.

Ecuación de segundo grado, ordenada: Ecuación de segundo grado en la que todos los términos, están reducidos y dispuestos en orden de mayor a menor grado, en el primer miembro, quedando éste igualado a cero.

Número de soluciones de una ecuación de 2º grado, según sea el valor del discriminante:
1) Si el discriminante es positivo, ∆>0, entonces habrá dos soluciones reales y diferentes.
2) Si el discriminante se anula, ∆=0, entonces existirán dos soluciones idénticas, o lo que es lo mismo, una solución doble.
3) Si el discriminante se hace negativo, ∆<0, entonces la ecuación carecerá de solución.

Ordenar una ecuación: Pasar todos los términos al primer miembro de una ecuación, dejando 0 en el segundo, y de izquierda a derecha, disponer los términos en orden decreciente de grado.
Ejemplo: la ecuación $$2x^2+3x=4x-17$$ ordenada, quedará así:$$2x^2-x+17=0$$

Solución: solución de una ecuación de segundo grado es cualquier valor que haga cierta la ecuación.


2 Resolución de ecuaciones de segundo grado.

Cualquier ecuación de segundo grado, incluídas las incompletas, pueden ser resueltas utilizando la fórmula general. Pero no es tan práctico como pueda parecer al principio. De hecho, sólo los estudiantes principiantes tratan de evitarse trabajo suponiendo que con la ecuación general podrán resolver cualquier ecuación cómodamente. Pero no es así.

Los siguientes métodos son más rápidos y eficientes para las ecuaciones incompletas.
Para las completas, sí, la forma más eficaz es la utilización de la fórmula.

A) Resolución fácil de una incompleta tipo ax= 0

Dividimos toda la ecuación entre el coeficiente «a».

$$\cfrac{ax^2}{a}=\cfrac{0}{a}$$

De donde obtenemos siempre que x es igual a cero.

$$x^2=0$$Y por lo tanto,

$$x=\sqrt {0}=0$$

B) Resolución fácil de una incompleta tipo ax+ c = 0

En este caso, despejaremos el término en x2, pasando «c», el término independiente al otro miembro.

$$ax^2=-c$$

Dividiendo por el coeficiente «a» a los dos mienbros, tendremos despejada x2:

$$\cfrac{ax^2}{a}=\cfrac{-c}{a}$$

Finalmente, de su resultado, obtendremos la raíz cuadrada.

$$x=\sqrt {\cfrac{-c}{a}}=0$$

C) Resolución fácil de una incompleta tipo ax+ bx = 0

Extrae factor común.

$$x·(ax+b)=0$$

Luego, como ya sabrás, si un producto da cero, alguno de los factores es cero; de donde deducimos que, a la fuerza, en nuestro producto o el primer factor es cero o lo es el segundo. Esas dos posibilidades son las soluciones.

$$x·(ax+b)=0 ⇒\begin{cases}
x=0\
ax+b=0
\end{cases}$$

Así que las soluciones en estos casos, son siempre así:

$$\begin{cases}
x=0\
x=\cfrac{-b}{a}\
\end{cases}$$

Ejemplos: tienes aquí 2 ejemplos.

$$x^2-5x=0→ x·(x-5)=0 ⇒\begin{cases}
x=0\\
x-5=0
\end{cases}⇒\begin{cases}
x=0\\
x=5
\end{cases}$$

$$3x^2+5x=0→ x·(3x+5)=0 ⇒\begin{cases}
x=0\\
3x+5=0
\end{cases}⇒\begin{cases}
x=0\\
x=\cfrac{-5}{3}
\end{cases}$$

D) Resolución de una cuadrática completa, ax+ bx + c = 0

Utilizando la fórmula general,

$$x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}.$$

donde
a es el coeficiente del término de grado 2;
b es el coeficiente de la x y por último,
c se refiere al término independiente,
siempre que previamente hayamos ordenado* la ecuación.


E) Esquema completo de resolución de cualquier ecuación de segundo grado.

Sin título


3 Ficha recordatorio sobre raíces cuadradas.

Viendo que no recordabais que las raíces cuadradas tienen dos soluciones (si el radicando es positivo), os he confeccionado una chuleta. Lo más valioso es que copiéis la idea de confeccionaros vuestros propios resúmenes, chuletas o como queráis llamarles.
Se recuerda mucho más cuando hacemos nosotros mismos los resúmenes, que cuando nos las dan fotocopiadas con contenidos hechos por otros. ¡¡Animaos!!Raíz cuadrada de un número


4 Planteamiento y resolución de problemas.

Leeremos el enunciado, las veces que haga falta, hasta estar seguros de comprender qué es lo que nos preguntan y de identificar los datos que nos aportan.

  1. Asignaremos las incógnitas, es decir: describiremos a qué le llamamos x, etc.
  2. Plantearemos una ecuación matemática ayudándonos de los datos que tengamos. No debemos preocuparnos de formar una ecuación de primer o segundo grado. Debemos usar la lógica para formar la ecuación, que podrá resultarnos de uno u otro grado.
  3. Resolveremos matemáticamente dicha ecuación según lo estudiado en clase. Esto es pura técnica. Los ordenadores pueden hacerlo si se les programa.
  4. Tenemos la obligación de interpretar los resultados, filtrando las soluciones que no tengan sentido en el contexto del problema. Solucionar un problema no es calcular las soluciones numéricas de la ecuación, sino dar un sentido en el contexto del problema a las preguntas que nos han hecho.

5 Composición de una ecuación de segundo grado, aportando antes las soluciones.

x2-sx+p

¿A qué se refiere esto?
Pues a que si queremos escribir una ecuación de segundo grado aportando nosotros las dos soluciones podemos obtenerla fácilmente de una de estas maneras:

1) Si las soluciones son los valores a y b, entonces basta plantear este producto y luego efectuarlo:

$$(x-a)(x-b)=0$$

el resultado del producto, ordenado nos da la ecuación de segundo grado cuyas soluciones son los valores, a y b.

$$x^2-ax-bx+ab$$

$$x^2-(a+b)x+ab$$

2) Fíjate que el coeficiente de x es (a+b) y si llamamos SUMA, S = a+b y PRODUCTO, P=a·b, podremos escribir la ecuación de segundo grado anterior,según la expresión:

$$x^2-Sx+P=0$$

donde S es la suma de las raíces, S=a+b, y P su producto P=a·b


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