Simplificación de fracciones algebraicas

1 Glosario

Simplificar. Simplificar una fracción es dividir el numerador y el denominador por una misma cantidad, siempre y cuando el numerador y denominador sean productos, no polinomios.

Igualdades notables. Expresiones equivalentes entre sí y por tanto intercambiables, que conocidas de memoria, permiten simplificar fracciones algebraicas, calcular las raíces de un polinomio… etc.

Diferencia de cuadrados. $$x^2-y^2≡(x+y)(x-y)$$

Trinomio cuadrado perfecto. Cuadrado de una suma. $$a^2+2ab+b^2≡(a+b)^2$$

Trinomio cuadrado perfecto. Cuadrado de una diferencia. $$a^2-2ab+b^2≡(a-b)^2$$


2 Simplificación

😉 IMPORTANTE: para poder simplificar una fracción algebraica, debemos descomponer en factores los polinomios, no se pueden simplificar términos. Por ello mostramos aquí varios ejemplos en los que se utilizan distintos recursos:
1º) Extracción de factor común,
2º) Uso de igualdades notables,
3º) Búsqueda de raíces por la fórmula general, para polinomios de 2º grado y,
4º) Búsqueda de raíces por Ruffini para descomponer polinomios de grado superior a 3.


Ejemplos de simplificación extrayendo de factor común en el numerador o en el denominador.

Ejemplo 1: Simplifica $$\cfrac{6x+2}{2}$$

Sacando factor común el 2,$$\cfrac{6x+2}{2}=\cfrac{2(3x+1)}{2}$$

simplificando el 2 en el numerador y en el denominador,$$\require\cancel\cfrac{2(3x+1)}{2}=\cfrac{\cancel2(3x+1)}{\cancel2}$$

Resultado final, $$3x+1$$


Ejemplo 2: Simplifica $$\cfrac{3x^2+2x}{x}$$

Sacando factor común, x,$$\cfrac{3x^2+2x}{x}=\cfrac{x(3x+2)}{x}$$

Simplificando x en el numerador y en el denominador, $$\cfrac{x(3x+2)}{x}=\cfrac{\cancel{x}(3x+2)}{\cancel{x}}$$

Resultado final, $$3x+2$$


Ejemplo 3: Simplifica $$\cfrac{3x^2}{3x^2+3x}$$

Sacando factor común, 3x en el denominador, que es un polinomio y por tanto no se puede simplificar,$$\cfrac{3x^2}{3x^2+3x}=\cfrac{3x^2}{3x(x+1)}$$

Simplificando 3 en el numerador y el denominador, $$\cfrac{3x^2}{3x(x+1)}=\cfrac{\cancel3x^2}{\cancel3x(x+1)}$$

Simplificando ahora una x del numerador y otra del denominador, $$\cfrac{x^2}{x(x+1)}=\cfrac{\cancel{x}·x}{\cancel{x}(x+1)}$$

Resultado final, $$\cfrac{x}{x+1}$$


Ejemplos de simplificación mediante el uso de igualdades notables.

Ejemplo 1 Simplifica $$\cfrac{x^2-y^2}{x-y}$$

El numerador es una diferencia de cuadrados*, y es equivalente al producto de la suma por la diferencia,$$\cfrac{x^2-y^2}{x-y}=\cfrac{(x+y)(x-y)}{x-y}$$

Simplificando (x-y) en el numerador y el denominador, $$\cfrac{(x+y)(x-y)}{x-y}=\cfrac{(x+y)\cancel{(x-y)}}{\cancel{x-y}}$$

Resultado final, $$x+y$$


Ejemplo 2: Simplifica $$\cfrac{4x^2-25^2}{2x-5}$$

El numerador es una diferencia de cuadrados*, y es equivalente al producto de la suma por la diferencia,$$4x^2-25=(2x)^2-5^2=(2x+5)(2x-5)$$

Sustituyendo la diferencia de cuadrados, que es un polinomio, y por tanto, no simplificable, en producto de factores gracias a la equivalencia de diferencia de cuadrados, obtendremos $$\cfrac{4x^2-25}{2x-5}=\cfrac{(2x+5)(2x-5)}{(2x-5)}$$

Simplificando (2x-5) en el numerador y el denominador, $$\cfrac{(2x+5)(2x-5)}{(2x-5)}=\cfrac{(2x+5)\cancel{(2x-5)}}{\cancel{(2x-5)}}$$

Resultado final, $$2x+5$$


Truco: a veces nos viene muy bien, para poder simplificar, «darle la vuelta» a una diferencia:

$$(y-x)=-(x-y)$$

$$y^2-x^2=-(x^2-y^2)$$

$$8-x^2=-(x^2-8)$$


Ejemplos de simplificación mediante factorización de un polinomio de 2º grado.

Ejemplo 1: Simplifica $$\cfrac{x^2-5x+6}{x-3}$$

El numerador es un polinomio de segundo grado*,$$ax^2+bx+c$$ y es equivalente al producto, $$(x-x_1)(x-x_2)$$ donde $$x_1 \text{y} x_2$$ son las raíces o soluciones del polinomio, que podemos hallar con la fórmula general, $$x = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}$$

$$x = {5 \pm \sqrt{5^2-4·1·6} \over 2·1}=$$

$$= {5 \pm \sqrt{25-24} \over 2}=$$

$$x={5 \pm 1 \over 2}=\begin{cases}
x_1=3\\
x_2=2
\end{cases}$$

Conocidas las raíces de un polinomio, éste se factoriza según el producto, (teoría de Ruffini) $$(x-x_1)(x-x_2)$$

por tanto, $$\cfrac{x^2-5x+6}{x-3}=\cfrac{(x-2)(x-3)}{x-3}$$

y ahora simplificamos, $$\cfrac{(x-2)(x-3)}{x-3}=\cfrac{(x-2)\cancel{(x-3)}}{\cancel{x-3}}$$

Resultado final, $$x+2$$

 


 

0 comentarios en “Simplificación de fracciones algebraicas

  1. Andrés

    gracias fede por todo esto
    esta muy bien que hagas estoo
    muchisimas graciasssss
    que pases bn el finde

  2. Andrés

    jaja
    ya he comprobado todos los ejercicios de fracciones y los entiendo todo
    eso es muy facil pero la cosa se complica cada vez con sistemas y eso jaj
    gracias por meter esos ejercicios y aver si puedes meter alguno mas de sistemas o otras cosas para que repasemos
    gracias por hacer una pestaña en especial fede
    adiossss

  3. joaquin

    gracias fede!!!!!!!
    una pregunta, en este examen cuanto contara cada cosa ????
    digo teoria, practica y problemas. lo mismo que en la primera evaluacion???? no, no ??? porque hemos echo mas de problemas y practica que de teoria???
    seguira contando lo que mas la practica, despues la teoria y por ultimo los problemas ????
    bueno gracias por todo fede!!!!!!
    buen fin de semana!!!

  4. Ana María

    Jo Fedee muchisisiiimasss gracias por todooo de verdaddd que es lo mejorrr,así tengo mucho más claro lo que entra las excepciones,ls errores que podíamos cometerr….

    Jooo así es mucho más fácil de estudiarr¡¡¡de verdadd muchísimas graciass¡¡¡¡

    Ahora voy a empezar a estudiarr¡¡¡Buen fin de semanaaa

  5. Federico Arregui Autor

    ¡Gracias a todos vosotros! Ojalá que de verdad os esté ayudando. ¡Ánimo a todos!
    Para Joaquín: he dividido toda la ecuación por 4. Eso es todo.

  6. Fernando

    de no ser por este blog las cosas serían mucho mas dificiles. ya casi no me acordaba muy bien de lo de las fracciones algebráicas. gracias por tdoooo¡¡¡¡¡¡.

  7. nazareth

    hola fede y compañeros. aqui estoy repasando las expresiones algebraicas, y queria preguntarle a fede, que si el resultado de la expresion algebraica numero 9 podria ser -x-y, en lugar de x+y (no se como se pone la raya de fracción)
    -1

    gracias por este blog, me han venido muy bien los ejercicios resueltos para el repaso. chao.

  8. Federico Arregui Autor

    Para Nazareth: sí claro, se me ha olvidado dividir por -1 al escribirlo, y lo ideal es que escribiésemos -(x+y) o como tú dices, -x-y